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课件网) 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线(1) 理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 会用尺规过一点作已知直线的垂线. 能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 理解原命题，逆命题，互逆命题，互逆定理的用法. 情景引入 探究： A B l P1 P2 P3 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3， ……是l上的点，请你猜想点P1，P2，P3 ，…到点A与点B的距离之间的数量关系. 猜想：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 性质： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 归纳知识 P A B l C ∵ l⊥AB，AC =CB， ∴ PA =PB． 针对练习 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连 接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 C 思考： 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 归纳知识 ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 探究： 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？ P A B C l 思考： 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗 这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作入互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立， 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理，在几何中，有许多互逆的定理，例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 典例讲解 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 归纳知识 例2.已知：如图，在△ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC. 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 归纳知识 例3.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. 课堂练习 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC ... ...
