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课件网) 1.1 多项式的因式分解 湘教版（2024）七年级下册 入 引 问题1 6 等于 2 乘哪个整数？ 6 ＝ 2×3 问题2 x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？ 授 新 探究一 因式分解的定义 (1) 因为(x + 1) = ， 所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )； (2) 因为 x(x－) = ， 所以 x －x = x( ). 做一做 x + 2x + 1 x + 1 x－ x －x 观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？ 都是一个多项式化为几个多项式的积的形式 整式的乘法 授 新 探究一 因式分解的定义 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式. 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ 由于 x + 2x + 1 = (x + 1) ， 则 x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式. 类似地，由于 x －x = x(x－)， 则 x 和 x－ 都是 x －x 的因式. 纳 归 定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. x + 2x + 1 = (x + 1) x －x = x(x－) 探究一 因式分解的定义 例 典 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3) = x －5x＋6， 因此三个空格都填写 x －5x＋6. x －5x＋6 x －5x＋6 x －5x＋6 探究一 因式分解的定义 授 新 x2 － y2 ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 x2 － y2 = ( x + y )( x － y ) 因式分解等式的特征： 左边是多项式， 右边是几个多项式的乘积. 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 是互逆的变形过程，即 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 例 典 例2 (1) x(x－2y) = x2－2xy； (2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1； 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. 解：(1) 不是因式分解，理由：它是整式的乘法. (2) 不是因式分解，理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 例 典 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (4) 是因式分解，理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1. (3) 3x2－x = x(3x－)； (4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1). (3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－. 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 纳 归 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 把多项式因式分解的重要用处之一是： 可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0. 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 例 典 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 例 典 判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1) D. ax + bx + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 2ab F. x ... ...
