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课件网) 第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课时2 双曲线简单几何性质的应用 1.进一步掌握双曲线的方程及其几何性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系.（逻辑推理） 2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.（数学运算） 1.前面我们学习了双曲线的方程、简单几何性质，你能写出双曲线的标准方程及性质吗？ [答案] 标准方程 性质 图形 焦点 ， ， 焦距 标准方程 性质 范围 或 ， 或 ， 对称性 对称轴：坐标轴对称中心： 顶点 ， ， 轴 实轴：线段 ，长为 .虚轴：线段 ，长为 .实半 轴长为 ，虚半轴长为 离心率 渐近线 续表 2.若直线与圆（椭圆）有且只有一个公共点，则直线与圆（椭圆）相切.那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗？ [答案] 不能. 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切.( ) × （2）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点.( ) × CD A.1 B.2 C.3 D.4 C 探究1 直线与双曲线的位置关系 问题1： 若直线和双曲线只有一个公共点，则直线和双曲线一定相切吗？ [答案] 可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点. [答案] 四条，其中有两条切线，两条和渐近线平行的直线. 问题3： 判断直线与双曲线的位置关系要注意什么？ [答案] （1）联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行.（2）直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行. 新知生成 位置关系 公共点 判定方法 相交 1个或2个 或 相切 1个 且 相离 0个 且 新知运用 （1）有两个公共点？ （2）有一个公共点？ （3）没有公共点？ 方法指导 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程或一元一次方程，再对方程解的个数进行讨论. 探究2 与双曲线有关的弦长及中点弦问题 问题2： 椭圆中点弦问题常用什么方法解决？双曲线中点弦问题能用这种方法吗？ [答案] 涉及椭圆中点弦问题常用点差法或根与系数的关系解决，此法也能用在双曲线中点弦问题中. 新知生成 解决与双曲线有关的中点弦问题的方法 第一种方法：联立消元法,即联立直线和双曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解. 第二种方法：点差法，根据双曲线弦中点的性质，求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程. 特别提醒：中点弦问题中判断点的位置非常重要. 新知运用 &2& 中点弦问题：可以联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；也可以用点差法和中点坐标公式求解.注意都需要检验. 探究3 双曲线性质的综合应用 问题1： 双曲线与椭圆有哪些不同点？ [答案] 双曲线与椭圆的六个不同点： 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 ， ， 的关系 问题2： 双曲线常与哪些知识结合命题？ [答案] 双曲线常与向量、直线等知识结合命题. 新知生成 与双曲线有关的综合问题 （1）当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. （2）当与直线知识结合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后当二次项的系数不为0时，常常利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解；当二次项系数 ... ...
