5.2 第2课时 勾股定理的实际应用 课件（共25张PPT）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

(课件网) 第5章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用 5.2 勾股定理及其逆定理 1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点） 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.（难点） 学习目标 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点 O A1 A2 1 1 1 你能在数轴上作出表示 的点吗 思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？ 勾股定理的简单实际应用 1 (已知 ) 抽象成数学问题 解决实际问题 实际问题：梯子顶端往上移动的距离. A' C' C A B 墙面 地面 梯子 几何问题： 利用_____， 求_____的长. 勾股定理 AB，A'B 解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m， 由勾股定理得，A'B = 因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71 = 0.16 (m). 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m. A' C' C A B 于是，AB = = 3.71(m). 在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m， 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）. 例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面， 问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'. A B B' 1 尺 5尺 C 解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺， 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得， 52 + x2 = (x+1)2， 故芦苇长为 13 尺. 解得 x = 12. 答：水池的水深 12 尺. AB = AB' = (x + 1) 尺. 所以 B'C = 5 尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 要点归纳 解：(1) 在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 ∴这条“近路”的长为 5 米. C A B 练一练 如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. (1) 求这条“近路”的长； (2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？ 别踩我,我怕疼! (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4 (步). C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 利用勾股定理求最短距离 2 A B 蚂蚁 A→B 的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近？ B A 根据两点之间线段最短易知上 ... ...