(课件网) 5.3 直角三角形全等的判定 第5章 直角三角形 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． （难点） 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点) 学习目标 SSS SAS ASA AAS 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____，_____，斜边是_____. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C = ∠C' = 90°， 且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能 判定 △ABC≌△A'B'C' 吗？ B C A A' B' C' 动脑想一想 我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理. 任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 直角三角形全等的判定 作图探究 画图思路 (1) 先画 ∠MC′N＝90°； A B C M C′ N (2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC； M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 (3) 以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′； M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 (4) 连接 A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 B C A A' B' C' 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中∵AB = A'B'，AC = A'C'， 根据勾股定理， BC2 = AB2－AC2， B'C'2 = A'B'2－A'C'2， ∴BC = B'C'. ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'. 证明猜想： “斜边、直角边”定理 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (斜边、直角边). AB=A′B′， BC=B′C′， “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 要点归纳 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： (1) 一个锐角和这个角的对边对应相等； ( ) (2) 一个锐角和这个角的邻边对应相等； ( ) (3) 一个锐角和斜边对应相等； ( ) (4) 两直角边对应相等； ( ) (5) 一条直角边和斜边对应相等． ( ) HL AAS或ASA SAS AAS AAS 判一判 例1 如图，BD，CE，是△ABC 的高，且BE＝CD. 求证：Rt△BEC＝Rt△CDB. 证明：因为 BD，CE 是△ABC 的高， 所以∠BEC＝∠CDB＝90°. BC = CB， BE = CD， 在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中， 所以Rt△ABC≌Rt△BAD (斜边、直角边). 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. A B C E D 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C BC ＝ AD ∠CBA＝∠DAB AC ＝BD ∠CAB＝∠DBA HL HL AAS AAS 如图，AC，BD 相交于点 P，AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：AC = BD. 变式 2 HL AC ＝ BD Rt△ABD≌Rt△BAC 如图：AB ⊥ AD，CD ⊥ BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 证明：∵AD，AF 分别是 △ABC 和 △ABE 的高， 且 AD ＝ AF，AC ＝ AE， ∴ Rt△ADC≌R ... ...
