4.2.3 定理，推论 课件（共18张PPT）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

(课件网) 4.2 命题与证明 第4章 三角形 4.2.3 定理、推论 学习目标 1. 理解定理、推论的概念；（重点） 2. 掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.（重点、难点） 3. 了解逆定理和互逆定理的概念.（重点） 1.如何判断一个命题是真命题呢 2.什么是互逆命题 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题. 其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 定理、推论 1 知识要点 经过证明为真的命题叫作定理. 例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 知识要点 例如：利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°， ∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ A B C D F E 80° 60° 40° 解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，∠CBD = 180°－60° = 120°， ∠BAF = 180°－80° = 100°， 所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 证明猜想 A B C D F E 证明：如图： 所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE = (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB) = 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB) = 540°－180° = 360°. A B C D F E 因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB， 推论：三角形的外角和等于 360°. 判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假. 解：原命题是真命题. 它的逆命题是“同位角相等，两直线平行” 逆命题是真命题. 总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 平行线的性质定理1 平行线的判定定理1 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理． 知识要点 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥BC. 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 典例精析 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD =∠B +∠C. 又∠B =∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于 AE 是∠CAD 的平分线， 因此∠CAD = 2∠DAE， 从而 2∠B = 2∠DAE， 即∠B =∠DAE. 所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 归纳总结 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A +∠B = 180°. 求证：∠C +∠D = 180°. 证明：∵∠A +∠B = 180° (已知)， ∴ AD∥BC ( ). ∴ ∠C +∠D = 180° ( ). 同旁内 ... ...