(课件网) 4.5 等腰三角形 第4章 三角形 第3课时 等边三角形的性质与判定 1．探索等边三角形的性质和判定；（重点） 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.（难点） 学习目标 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫等边三角形. 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB = AC ∠B =∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B 1 等边三角形的性质 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°. A B C 推理证明 如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC. 由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B＝∠C. 同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B， 从而∠A＝∠B＝∠C. 根据三角形内角和定理得， ∠A+∠B+∠C＝180°， 因此∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边上的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 等边三角形 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 知识要点 三个角都相等， 例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. A B C D E 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 方法总结 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E，使得 CE = CD．求证：BD = DE. 变式训练： 证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC， ∴∠ABC =∠ACB = 60°，∠DBC = 30°． 又∵ CE = CD， ∴∠CDE =∠CED． 又∵∠BCD =∠CDE +∠CED = 60°， ∴∠CDE =∠CED = 30°． ∴∠DBC =∠DEC． ∴ BD = DE (等角对等边)． A B C E D 2 等边三角形的判定 说一说 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC. 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 知识要点 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗 思考 如图，在△ABC 中，AB＝AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. A B C 情形3 设∠C＝60°. 与情形2 类似， 同理可证△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理2： 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A ... ...
