(课件网) 4.6 线段的垂直平分线 第4章 三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的概念； 2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3. 能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′. l D 2 1 (P′) 线段垂直平分线的性质 1 P P′ 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线) 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 l P P′ 直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 P A B D l 于是∠ADP =∠BDP = 90°. 在△PAD 和△PBD 中， 设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB， 所以△PAD≌△PBD (边角边). 因此 PA＝PB. AD＝BD， ∠ADP＝∠BDP， PD＝PD， 当点 P 在线段 AB 上时， 结论还成立吗 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 知识要点 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 ( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C A B C D E 典例精析 解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD. 又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm， ∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么 线段垂直平分线的判定 2 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗 下面来证明上述逆命题是真命题， 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA， MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线. M A B D 因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上. 推理论证 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： 因为 PA = PB， 所以点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识要点 例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 O ... ...
