(课件网) 4.6 线段的垂直平分线 第4章 三角形 第2课时 作垂直平分线和角平分线 学习目标 1.掌握线段垂直平分线、过点作垂线及角平分线的尺规作图方法，理解其几何性质.（重点） 2.能根据已知底边和高线，通过作垂线或垂直平分线定位顶点，完成等腰三角形的作图.（重点） 3.综合运用几何作图解决实际问题，感悟数学的严谨性及其在现实中的应用价值.（难点） 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 线段垂直平分线的尺规作图 1 已知线段 AB，如果要作线段 AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 说一说 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段 AB 的垂直平分线. 例1 作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段 AB. 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： ① 分别以点 A，B 为圆心， 以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D； ② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 典例精析 · B C D · A 也可用此法作 线段的中点. E 例2 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB (保留作图痕迹，不要求写出作法). 解：如图所示. M N A B l P 典例精析 引例 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 若能找到直线 l 上的一条线段 AB，使 AB 的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 由于点 P 与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图. 如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？ 思考 ① 以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线 l 于点A，B. (1) 点 P 在直线 l 上时. ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧交于点 C. ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. A B C l 这一步的目的是什么？ · P (2) 当点 P 在直线 l 外时. ① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线 l 于点 A，B； ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大 于 AB 的长)为半径画弧，两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 问题：第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？ 如图，已知线段 a，h． 求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h． 思考： ① 所作的图形是什么？满足哪些条件？ ② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？ ③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？ 底边 BC = a 底边的垂直平分线 · · · · h a 例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形. (1) 作线段 BC＝a； (2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D； (3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使 DA = h； (4) 连接 AB，AC， 则△ABC 为所求作的三角形. 作法： A D C B N M · · · · h a 思考：本题应用了哪几种基本作图法？ 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点 O 为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE 的垂直平分线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线. A B O 例4 求作一个角的平分线. 角平分线的尺规作图 2 (2) 分 ... ...
