4.1数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念 一、学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类. 2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质. 3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同. 4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式. 二、重难点 重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式. 难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式. 三、自主预习 1.数列的相关概念及分类：一般地，把按照确定的顺序排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 . 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示，其中第1项也叫做 . 数列的一般形式是，，…，，…，简记为 . 2.数列的单调性：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做 ；从第2项起，每一项都 它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，各项都相等的数列叫做 . 3.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式：如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 . 5.数列的前n项和：数列从第1项起到第项止的 ，称为数列的前n项和，记作，即 . 6.数列的前项和公式：如果数列的 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 显然，而，于是有 . 应用举例 例l 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. （1）； （2）. 解：（1）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. （2）当通项公式中的时， 数列的前5项依次为，图象如图所示. 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）. 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为. （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为. 例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：令， 解得（舍去），或. 所以120是数列的项，是第10项. 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是. 例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项. 解：由题意可知， ， ， ， ， . 例6 已知数列的前项和公式为，求的通项公式. 解：因为， ， 并且当时，依然成立. 所以的通项公式是. 课堂练习 （一）课本练习 1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （2）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数的值构成的数列； （3）数列的通项公式为 2.根据数列的通项公式填表： n 1 2 … 5 … … … n … … 153 … 273 … 3.除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，.写出数列，，…，，…的前10项. 4.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，，…； （2）1，，，，，…. 5.根据下面的图形及相应的点数.写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. （1）； （2）； （3）. 6.根据下列条件，写出数列的前5项： （1），； （2），. 7.已知数列满足，，写出它的 ... ...