4.2.2 等差数列的前n项和公式 一、学习目标 1.理解等差数列前项和公式的推导方法。 2.会用等差数列前项和公式解决一些问题。 二、重难点 重点：等差数列前项和公式的推导方法 难点：等差数列前项和公式应用 三、自主预习 1.等差数列的前n项和公式： 或 . 2.等差数列的前n项和公式推导的方法是_____。 3.公式不一定是关于的二次函数.当等差数列的公差____且首项____时,公式是关于的一次函数;只有当公差_____时,公式才是关于的二次函数. 四、应用举例 例1 已知数列是等差数列. (1)若,求; (2)若,求; (3)若,求. 分析:对于(1),可以直接利用公式求和;在(2)中,可以先利用和的值求出,再利用公式求和;(3)已知公式中的和,解方程即可求得. 解:(1)因为,根据公式,可得. (2)因为,所以.根据公式,可得. (3)把代入,得. 整理,得.解得,或(舍去).所以. 例2 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗 分析:把已知条件代入等差数列前项和的公式(2)后,可得到两个关于与的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组,就可以求得和. 解:由题意,知,把它们代入公式,得解方程组,得所以,由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位 分析:将第1排到第20排的座位数依次排成一列,构成数列.设数列的前项和为.由题意可知,是等差数列,且公差及前20项的和已知,所以可利用等差数列的前项和公式求首项. 解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前项和为.根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且.由,可得. 因此,第1排应安排21个座位. 例4 已知等差数列的前项和为,若10,公差,则是否存在最大值 若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由. 分析:由和,可以证明是递减数列,且存在正整数,使得当时,递减.这样,就把求的最大值转化为求的所有正数项的和.另一方面,等差数列的前项和公式可写成,所以当时,可以看成二次函数当时的函数值.如图,当时,关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.因此,可以利用二次函数求相应的的值. 解法1:由,得, 所以是递减数列. 又由,可知: 当时,; 当时,; 当时,. 所以. 也就是说,当或6时,最大. 因为, 所以的最大值为30. 解法2:因为, 所以,当取与最接近的整数即5或6时,最大,最大值为30. 课堂练习 （一）课本练习 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和. （1），，； （2），，； （3），，； （4），，. 2.等差数列，，，…的前多少项的和是？ 3.在等差数列中，为其前n项的和，若，，求. 4.在等差数列中，若，求k. 5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数. 6.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？ 7.已知数列的前n项和.求这个数列的通项公式. 8.已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值. 9.求集合，且中元素的个数，并求这些元素的和. 10.已知数列的通项公式为，前n项和为.求取得最小值时n的值. （二）课本习题 1.已知一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为44 cm，公差为3 cm.求这个多边形的边数. 2.数列，都是等差数列，且，，.求数列的前100项的和. 3.已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差 ... ...
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