4.3.1等比数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 一、学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题. 二、重难点 重点：等比数列的通项公式、等比数列的性质及应用. 难点：等比数列的运算、等比数列的性质及应用. 三、自主预习 1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示（显然）. 2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项. 此时， . 3.等比数列的通项公式：设一个等比数列的首项为，公比为q，则通项公式为 . 四、应用举例 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解法1：由，，得， ②的两边分别除以①的两边，得，解得. 把代入①，得.此时， 把代入①，得.此时. 因此，的第5项是24或-24. 解法2：因为是与的等比中项，所以. 所以. 因此，的第5项是24或-24. 例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示. 解：由题意得①，②， ②的两边分别除以①的两边，得， 所以. 例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，. 于是得，解得或. 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. 例4 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项，公比， 所以. 所以12个月后的利息为（元）. （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列， 则也是一个等比数列，首项，公比为1+r. 于是. 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元. 解不等式，得. 所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 例5 已知数列的首项. (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 证明：（1）由，，得的通项公式为. 设，则. 又， 所以是以27为首项，9为公比的等比数列. (2)由，，得. 两边取以3为底的对数，得. 所以. 又， 所以是首项为1，公差为-2的等差数列. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，. 由题意知， ，其中， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是， 由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下. n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可. 由，得， 所以当时，递减. 又，所以当时，. 所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内. 五、课堂练习 1.判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3），，，，，； （4）4，，16，，64，. 2.已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数. q 2 8 2 0.2 ... ...