6.3.1 平面向量基本定理 [学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． [讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题： 问题1．平面向量基本定理的内容是什么？ 问题2．基底中两个向量满足什么条件？ [自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1 平面向量基本定理 探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ _____ _____ 探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ _____ _____ _____ [新知生成] 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_____实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2_____，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [典例讲评] 1．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则 D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [尝试解答] _____ _____ _____ 1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底． 2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 [学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 (2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____． 探究2 用基底表示向量 [典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且．设＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 用基底表示向量的一般方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． [学以致用] 2．如图，在正方形ABCD中，设＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为_____，以{a，c}为基底时，可表示为_____． 探究3 平面向量基本定理的应用 [典例讲评] 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点． (1)设＝b，用a，b表示； (2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 利用向量解决几何问题的一般思路 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底． (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解． [学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 1 ... ...
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