用向量法研究三角形的性质 三角形“四心”的向量表示 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心． (2)三角形的垂心： O是△ABC的垂心． (3)三角形的内心：a＝0 O是△ABC的内心． (4)三角形的外心：＝＝ O是△ABC的外心． 【典例】 (1)若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 (2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( ) A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2 (3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且，则p＝_____，q＝_____． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ 1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则等于( ) A． B．6 C．12 D．18 2．点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( ) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．在△ABC中，设，那么动点M形成的图形必经过△ABC的( ) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 4．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2．则＝_____． 探究课1 用向量法研究三角形的性质 典例探究 典例 (1)A (2)B (3) [(1)由题意知(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心． (2)延长PB至D(图略)，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1． (3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC． 由余弦定理，得cos ∠BAC＝ cos ∠BAC＝ ∵， ∴ ∵·cos ∠BAO＝＝2， ·cos ∠CAO＝ ∴ 解得p＝ ] 对点训练 1．D [如图，过点O作OD⊥AB于点D， 可知AD＝AB＝3， 则＝3×6＋0＝18．] 2．D [∵，∴＝0， ∴＝0，∴OB⊥AC． 同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴点O为三条高所在直线的交点．] 3．C [假设BC的中点是O，则＝2，即＝0，所以，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心．] 4．－4 [∵ O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1， ∵，将两式平方再相减， 得＝1－2＝－4．] 2/2(
课件网) 探究课1 用向量法研究三角形的性质 第六章 平面向量及其应用 三角形“四心”的向量表示 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心． (2)三角形的垂心： O是△ABC的垂心． (3)三角形的内心：＝0 O是△ABC的内心． (4)三角形的外心： O是△ABC的外心． 知识提炼 【典例】 (1)若三个不共线的向量满足＝0，则点O为△ABC的( ) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 典例探究 √ (2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( ) A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2 (3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且，则p＝_____，q＝_____． √ 知识提炼 (1)A (2)B (3) [(1)由题意知(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心． (2)延长PB至D(图略)，使得＝2(图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1． 知识提炼 (3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC． 由余弦定理，得cos ∠BAC＝． cos ∠BAC＝． ∵， ∴ ... ...
