类型1 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 【例1】 (1)(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( ) A．－ B． C． D． (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝_____． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型2 平面向量数量积的运算 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 【例2】 (1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则( ) A．|b|＝ B．(2a＋b)∥(a＋2b) C．向量2a－b与a－2b的夹角为 D．向量a在向量b上的投影向量的模为 (2)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝_____，若⊥a，则实数m＝_____． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型3 利用余弦、正弦定理解三角形 1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性． 2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养． 【例3】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A； 条件②：cos B＝． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 【例4】 在某海域A处的巡逻船发现南偏东60°方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线y＝x(x≥0)(以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． [尝试解答] _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 章末重构拓展 例1 (1)ABD (2) [(1)故选ABD． (2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝ 例2 (1)AC (2)3 3 [(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝，故A正确； 因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误； 设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确； 向量a在向量b上的投影向量的模为，故D错误． (2)因为|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a||b|cos 60°＝3×2×＝3； 因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝0， 即a ... ...
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