23.3.2 相似三角形的判定 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

23.3.2　相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定定理1 相似三角形的判定定理1：　两角　分别相等的两个三角形相似． 考点　利用两角分别相等判断两个三角形相似 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： △ADE∽△ABC. 证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB， ∵∠CEB＝∠AED， ∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE， ∴∠D＝∠ABC＝90°， ∴△ADE∽△ABC. 两角分别相等的两个三角形相似．特别地，两个直角三角形，若有一对锐角相等，则它们一定相似． 【变式训练】 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD.求证：△AEB∽△CED. ∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE. ∵BC＝CD，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE. 又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED. 知识点　相似三角形的判定定理1 1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝69°，∠B＝40°，∠B′＝40°，∠C′＝20°，则这两个三角形(　B　) A.不相似 B．相似 C．全等 D．无法确定 2.下列三角形一定相似的是(　B　) A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个直角三角形 D．有一角为70°的两个等腰三角形 3.（河南安阳期中）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(　C　) A．△ADE∽△AEF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△ECF D．△ADE∽△ABF 4.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为　△BCD　． 5.如图，三个三角形中，相似的是　(2)与(3)　．（填序号） 　　 6.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝60°，BD＝1，CE＝，则△ABC的边长为(　A　) A．3 B．4 C．5 D．6 ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°＝∠C，∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，且∠ABC＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴AB＝3. 7.（安徽合肥肥西县期末）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°. ∵∠FBE＝∠ABD，∴△FBE∽△ABD. ∵∠BFE＝∠CFD，∴△BFE∽△CFD. ∵∠FCD＝∠ACE，∴△CFD∽△CAE， ∴△BFE∽△CAE. 综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE共3个． 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝9，AD＝4，那么CD＝　6　；AC＝　2　． ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD·BD，∵AD＝4，BD＝9，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝52，∴AC＝2. 9.（海南海口秀英区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝3，BD＝2，求CD的长． (1)∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴∠BCD＋∠B＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD. (2)∵△ACD∽△CBD， ∴＝，∴CD2＝AD·DB. ∵AD＝3，BD＝2，∴CD2＝6， ∵CD＞0，∴CD＝. 【母题P76T7】如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.证明△AFD∽△DCE，并计算点A至直线DE的距离．（精确到0.1） ∵∠CDE＝90°－∠ADE＝∠DAF，∠DCB＝∠AFD＝90°， ∴△AFD∽△DCF，∴＝， ∵AB＝3，AD＝2，CE＝1， ∴DE＝＝， ∴AF＝＝≈1.9. 【变式】如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F. (1)证明：△AEF∽△DCE； (2)若AB＝2，AE＝3，AD＝7，求线段AF的长． (1)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠ ... ...