24.4 解直角三角形 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

24.4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形及其简单应用 解直角三角形，有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．根据三角形全等的判定，由于已知一个角是直角，所以在这两种情况下，对应的直角三角形唯一确定，因此，可以求出其他元素． 考点1　解直角三角形 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝.求BC的长及∠A的正切值． (1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）； (2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算； (3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解． 【变式训练】 1.（河南平顶山宝丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝4，则AB的长为( ) A．4　　　B．8　　　C．8　　　D．12 考点2　求非直角三角形中的边和角 【典例2】如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan ∠ACB＝.求边AC的长． 直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，故当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高），得到直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题． 作垂线（或高）时有两类角不能破坏：(1)30°、45°、60°这三种特殊角，因为其三角函数值已知，便于下一步的运算；(2)已知其某个三角函数值的锐角，如果破坏了，已知的三角函数值就不起作用了． 【变式训练】 2.在△ABC中，AB＝6，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长． 考点3　解直角三角形的简单应用 【典例3】（江西上饶一模）暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的树CD正好抵着高树AB的中点D.救援的小明通过测量得到了以下数据：BC＝9.1米，∠B≈53°，∠C≈45°（取sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈，≈1.41）. (1)求两树的支撑点D离地面高多少米？ (2)求高树比低树高多少米（结果保留一位小数）. 当已知边长与所求边长不在同一个直角三角形中时，可考虑“割补”已知线段，把所求线段设为未知数，并用未知数表示出“割”或“补”的线段长，再利用已知线段长列方程求解． 【变式训练】 3.如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿AC又修了一条小路，已知AB＝m米，新修小路与AB的夹角∠CAB＝θ，则小路AC的长为( ) A.m sin θ米 B．米 C．m cos θ米 D．米 知识点1　已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，求∠B＝( ) A.30° B．45° C．60° D．75° 2.（海南海口校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若AB＝8，AD＝5，则sin B等于( ) A. B． C． D． 3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5.求： (1)AC的长； (2)cos ∠OCA与tan ∠B的值． 知识点2　已知一边和一锐角三角函数值解直角三角形 4.（海南乐东县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为( ) A．45 B．5 C． D． 5.如图，菱形ABCD的边长为5，sin B＝0.8，则对角线AC的长为 ． 知识点3　解直角三角形的简单应用 6.（福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为（参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）( ) A．9.90 cm B．11.22 cm C．19.58 cm D．22.44 cm 7.（广西中考）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是 米． 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连结CD，已知CD＝4，cos ∠BCD＝，则BC的值为( ) A． B．2 C．4 D．4 9.如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1 800 m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为( ) A.900 m B．900 m C．900 m D．1 800 m 10.如图，在R ... ...