第22章 一元二次方程 章末小结（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

章末小结 第22章 一元二次方程 考点1　一元二次方程的概念 1.下列方程一定是一元二次方程的是(　B　) A.ax2＋bx＋c＝0 B．2x2－1＝3x C．x2＋－3＝0 D．2x2－y＝1 2.若关于x的方程(a－3)x2－4x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是　a≠3　． 考点2　一元二次方程的解及一般形式 3.将一元二次方程3x2－1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　C　) A．3，5，－1 B．3，5，1 C．3，－5，－1 D．3，－5，1 4.（河南洛阳涧西区一模）已知x＝1是一元二次方程x2＋ax－2＝0的一个实数根，则a的值是(　A　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 考点3　解一元二次方程 5.嘉嘉在解方程x(x－3)＝x－3时，只得到一个解是x＝1，则他漏掉的解是(　A　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝0 D．x＝－1 6.（海南海口秀英区校级月考）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程x(x－5)－7(x－5)＝0的一个根，则这个三角形的周长是　18　． 7.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为　5　． 考点4　一元二次方程根的判别式 8.（河南南阳内乡县期中）关于x的方程x2－mx－3＝0的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 9.（辽宁朝阳中考）若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　A　) A．k>且k≠1 B．k> C．k≥且k≠1 D．k≥ 10.（河南南阳邓州市期中）若关于x的一元二次方程(x＋2)2＝m＋2有实数根，则m的值可以为　1（m≥－2即可，答案不唯一）　（写出一个即可）. 11.关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为1，求m的值． (1)x2－mx＋2m－4＝0， Δ＝(－m)2－4×1×(2m－4)＝m2－8m＋16＝(m－4)2， ∵不论m为何值，(m－4)2≥0，∴Δ≥0， ∴方程总有两个实数根； (2)把x＝1代入关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0，得1－m＋2m－4＝0.解得m＝3. 考点5　一元二次方程根与系数的关系 12.若x1、x2是一元二次方程x2－3x－10＝0的两个根，则x1·x2的值为(　D　) A．3 B．10 C．－3 D．－10 13.若关于x的方程x2＋(m2－4)x－1＝0的两根互为相反数，则m的值是(　A　) A．±2 B．－2 C．2 D．4 14.设方程x2－3x－2＝0的两个根为a和b，则(a＋1)·(b＋1)的值为　2　． ∵a、b是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，∴ab＝－2，a＋b＝3，∴(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝－2＋3＋1＝2. 15.（河南驻马店泌阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋2＝0. (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若x1、x2是原方程的两根，且x＋x＝2，求m的值． (1)∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋2)＝(m＋1)2， ∵无论m取何值，(m＋1)2≥0， ∴原方程总有两个实数根． (2)∵x1、x2是原方程的两根， ∴x1＋x2＝－(m＋3)，x1x2＝m＋2， ∵x＋x＝2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2， ∴代入化简可得m2＋4m＋3＝0， 解得m＝－3或m＝－1. 考点6　一元二次方程的实际应用 16.（海南定安县期中）如图，某单位准备在院内一块长30 m、宽20 m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度为　1　m． 17.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场　7　个． 18.（海南海口期中）某种商品每件盈利60元，平均每天可销售40件，为了减少库存，现商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． (1)当每件盈利减少到50元时，每天可销售　60　件？ (2)当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3 000元？ ... ...