11.5 因式分解 导学案 （含答案）2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

11.5 因式分解 素养目标 1.知道因式分解的概念及它与整式乘法之间的关系. 2.会运用提公因式法和公式法将多项式分解因式. 重点 运用提取公因式法和公式法分解因式. 【自主预习】 预学思考 1.回忆单项式与多项式相乘的运算法则. 2.回忆整式乘法中的平方差公式和完全平方公式. 3.完成课本本课时“回忆”及“试一试”. 自学检测 xa+xb+xc=x . 【合作探究】 知识生成 知识点一 因式分解的概念 阅读课本本课时“概括”的内容,思考下列问题. 1.(1)m(a+b+c)= ,它叫做什么 (2)ma+mb+mc= ,它又叫做什么呢 2.下列式子的变形是因式分解的是 ( ) A.x2-5x+6=x(x-5)+6 B.x2-5x+6=(x-2)(x-3) C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D.x2-5x+6=(x+2)(x+3) 3.用简便方法计算:58×2 025+43×2 025-2 025. 归纳总结 把一个 化为 的形式,叫做多项式的因式分解. 对点训练 下列等式中,从左到右的变化是因式分解的是 ( ) A.x(x+1)=x2+x B.x2+xy-3=x(x+y)-3 C.x2-2x+1=(x-1)2 D.x2+6x+4=(x+3)2-5 知识点二 提公因式法 阅读课本本课时“例1”中(1)(2)的内容,思考下列问题. 1.下列每个单项式含字母的因式有哪些 它们的因式中有相同的吗 ab,ac,am 2.如何把多项式ab+ac+am分解因式 3.指出下表多项式中各项的公因式 多项式 公因式 ab+bc 3x2-3y 7a2-21a 归纳总结 1.多项式ma+mb+mc中每一项都含有一个共同的因式 ,我们称之为 ,把公因式提出来,多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积了.像这种因式分解的方法,叫做 . 2.提公因式法分解因式的方法:①找各项系数的 (找最大);②找各项公有字母的 幂(找最低). 对点训练 1.多项式6a2b-3ab2的公因式是 . 2.因式分解:3x2-9x= . 知识点三 公式法 阅读课本本课时“例1”中(3)(4)及“例2”的内容,思考下列问题. 1.观察式子:a2-b2,x2-16,4x2-25,它们有什么共同特征 2.乘法公式(a+b)(a-b)= ,反过来就是a2-b2= .即两数的平方差等于这两个数的 与这两个数的差的 . 3.把(x+y)2-4(x+y)z+4z2因式分解. (1)此题把 看作一个整体,这个多项式相当于 的二次三项式. (2)这个多项式符合 公式的特点. (3)(x+y)2-4(x+y)z+4z2= . 归纳总结 1.两数和(差)平方公式的特点是:多项式是一个 ,其中有两个数的 ,还有这两个数的积的 倍. 2.在把一个多项式进行因式分解时,一般按以下的步骤进行:①观察多项式的各项是否有公因式,若有,则先 ;②当一个多项式的各项没有公因式(或有公因式提出公因式后)时,观察多项式是否符合 ,若符合公式,就按照公式进行分解;③分解因式必须要进行到每一个多项式都 为止. 对点训练 下列各式中,可以用完全平方公式因式分解的是 ( ) A.a2-1 B.a2+2a-1 C.a3+a2+a D.a2-6a+9 题型精讲 题型1 因式分解与整式乘法的关系 例1　下列从左到右的变形属于因式分解的是 ( ) A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-2x+1=x(x-2)+1 C.m2-n2=(m+n)(m-n) D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y) 变式训练 一次课堂练习,小敏同学做了如下4道因式分解题,你认为小敏做得不够完整的一题是 ( ) A.x3-x=x(x2-1) B.x2-2xy+y2=(x-y)2 C.x2y-xy2=xy(x-y) D.x2-y2=(x-y)(x+y) 题型2 灵活运用因式分解的方法 例2　分解因式:(1)12a2+54ab-18;(2)x3-x;(3)x3y-2x2y+xy. 变式训练 1.把多项式-9m2+27mn-18m分解因式. 2.分解因式:(1)x3-4x;(2)2x2-20x+50. 题型3 因式分解在计算中的应用 例3　计算:(1)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14; (2)1.992-2.992; (3)80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52. 变式训练 计算:2.39×24.9+2.39×38.6+36.5×2.39. 课堂检测 1.因式分解:x(x-1)+4(x-1)= . 2.把下列各式因式分解: (1)-x2+4xy-4y2; (2)16a2-(2a+3b)2. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的积相加. 2.(a+b)(a-b)=a2-b2 ;( ... ...