第八章 微专题2　球的切、接问题（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

微专题2　球的切、接问题 与球有关的内切、外接问题是学习立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解． 探究1　外接球问题 【例1】　(1)若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　) A．π 　　　B．π 　　　C．9π 　　　D．27π (2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，则其外接球的表面积是_____． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　外接球常见情形 (1)圆柱的外接球：如图①，在圆柱OO1中，AB为圆柱底面圆的直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段BC的中点，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2． (2)直棱柱的外接球：如图②，可以将棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球即为其外接圆柱的外接球，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2． (3)直棱锥的外接球：如图③，可先将直棱锥A BCD补成直棱柱，再将其外接圆柱OO1作出来，设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则(2r)2＋h2＝(2R)2． (4)长方体的外接球：如图④，长方体的体对角线为长方体外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则(2R)2＝x2＋y2＋z2． [学以致用]　1．(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2　　 　　　B．πa2　　 　　　C．πa2　　 　　　D．5πa2 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 探究2　内切球问题 【例2】　(1)与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为(　　) A． 　　　B． 　　　C．2 　　　D．3 (2)已知三棱锥P ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为_____． [尝试解答]　_____ _____ _____ 　(1)球与旋转体的组合问题，通常作它们的轴截面解题． (2)球与多面体的组合问题，通常借助V多面体＝S表·r(r为多面体内切球半径)求解． [学以致用]　2．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A．4π(r＋R)2　　　　 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 (2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____． 微专题2　球的切、接问题 例1　(1)A　(2)6π　[(1)由题知，正方体的棱长为，且正方体的顶点都在同一球面上，设正方体的外接球半径为R， 所以R＝， 所以该球的体积为V＝πR3＝·π·π．故选A． (2)根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球． 设其外接球的半径为R， 则有(2R)2＝12＋2＋2＝6． ∴R2＝ 故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π．] 学以致用　1．(1)B　(2)A　[(1)如图所示， 设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则外接球球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．∵AD＝，∴a2，故该球的表面积S球＝4π×πa2． (2)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故 ... ...