22.2. 1. 直接开平方法和因式分解法 导学案（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

22.2.1 第1课时 直接开平方法 素养目标 1.会用直接开平方法解形如(ax+m)2=n(a≠0,n≥0)的方程. 2.经历用直接开平方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想方法. 重点 用直接开平方法解一元二次方程. 【预习导学】 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 阅读课本本课时的“思考”之前所有内容,回答下列问题. 1.回忆:若x2=a(a≥0),则x=　 　. 2.若x2=4,则x=　 　=　 　,这里得到了方程的　 　个根,所以也可以表示成x1=　 　,x2=　 　. 温馨提示　(1)一元二次方程有两个根,通常写成“x1=……,x2=……”的形式. (2)解一元二次方程的基本思想是“降次、转化”. 归纳总结　像上面2中得到方程解的方法叫　 　. 对点自测 1.若关于x的方程(x-4)2=a有实数解,则a的取值范围是 ( ) A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定 2.若x2=121,则x1=　 　,x2=　 　. 3.若(2x+1)2-49=0,则x=　 　. 【合作探究】 任务驱动 用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程: (1)x2=3. (2)8x2=2. (3)(x+1)2-9=0. (4)(3x+1)2-9=0. (5)100(1-x)2=64. (6)3(2x+3)2-75=0. 方法归纳交流　(1)用直接开平方法解方程的一般步骤:①把方程化为“左　 　,右　 �———�的形式;②把平方项的系数化为1;③开平方取　 　,求得方程的解,并将方程的解写成“x1=……,x2=……”的形式. (2)适合用直接开平方法解一元二次方程的类型:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0). (3)直接开平方法解一元二次方程时要注意:①切勿漏掉　 　;②切勿两边都取正负. 变式演练　用直接开平方法解下列方程: (1)x2-16=0. (2)(x+3)2=5. (3)4(x+1)2-49=0. (4)(x-2)2=16. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.± 2.±　±2　两　2　-2 归纳总结　直接开平方法 对点自测 1.B　2.11　-11 3.3或-4 【合作探究】 任务驱动 解:(1)x2=3,x=±,∴x1=,x2=-. (2)8x2=2,x2=,x=±,∴x1=,x2=-. (3)(x+1)2-9=0,(x+1)2=9,x+1=±3,∴x1=2,x2=-4. (4)(3x+1)2-9=0,(3x+1)2=9,3x+1=±3,3x+1=3或3x+1=-3,∴x1=,x2=-. (5)100(1-x)2=64,(1-x)2=,1-x=±, ∴x1=,x2=. (6)3(2x+3)2-75=0,3(2x+3)2=75,(2x+3)2=25,2x+3=±5,2x+3=5或2x+3=-5,∴x1=1,x2=-4. 方法归纳交流　(1)①平方　常数　②正负 (3)①负根 变式演练　解:(1)x2-16=0, x2=16, ∴x1=4,x2=-4. (2)(x+3)2=5. x+3=±, ∴x1=-3,x2=--3. (3)4(x+1)2-49=0, (x+1)2=, x+1=±, ∴x1=-1=,x2=--1=-. (4)(x-2)2=16. (x-2)2=64, x-2=±8, ∴x1=10,x2=-6.22.2.1 第2课时 因式分解法 素养目标 1.掌握能化成“(x+a)(x-a)=0”型方程的解法———因式分解法. 2.了解因式分解法解一元二次方程的依据是“若a·b=0,则a=0或b=0”. 重点 用因式分解法解一元二次方程. 【预习导学】 知识点 用因式分解法解一元二次方程 1.因式分解:x2-1=　 　. 2.若a·b=0,则　 　. 3.由1可知,方程x2-1=0可以写成　 　=0的形式,即原方程可以转化 为　 　或　 　,所以得到原方程的解为x1=　 　,x2=　 　. 4.小林在解方程“x(3x+2)-6(3x+2)=0”时,将方程转化为“x(3x+2)=6(3x+2)”后,方程两边都除以(3x+2)得x=6,这种解法对吗 为什么 归纳总结　如第3点一样,得到方程解的方法叫　 　. 温馨提示　(1)提公因式法分解因式时,a-b=-(b-a),(a-b)2=(b-a)2. (2)在解方程时,方程的两边不能都除以一个含有未知数的代数式,那样会容易造成丢根现象. 对点自测 1.若5x2-10x=0,则x1=　 　,x2=　 　. 2.一元二次方程xx++x=-的解是　 　. 【合作探究】 任务驱动 用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解下列方程: (1)x2+16x=0. (2)(3x+2)2-4x2=0. (3)5x2+20x+20=0. (4)2x(x+3)-3(x+3)=0. 方法归纳交流　因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①将方程的左边分解为两个一次因式的积,方程 ... ...