23.4 中位线 素养目标 1.经历三角形中位线的性质定理的探索过程. 2.掌握定理,并能利用它们解决简单的问题. 重点 相似三角形性质定理及其应用. 【预习导学】 知识点一 三角形的中位线 认真阅读下面的内容,理解“三角形中位线”的定义,解决下面的问题. 揭示概念 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.例如,如图,在△ABC中,D、E为边AB和边AC的中点,线段DE就是△ABC的一条中位线. 知识点二 三角形的中位线定理 如图,DE是△ABC的中位线,猜想DE与BC之间的关系,并证明. 归纳总结 三角形的中位线 于第三边,并且等于 .用几何语言表示为:∵DE是△ABC的中位线,∴DE BC,DE= . 对点自测 1.请画出△ABC所有的中位线. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,AD⊥BC于点D,E,F分别是AD,AC的中点,则EF的长为 ( ) A.5 B.4 C. D.2 3.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的格点上,则△ABC的重心是 ( ) A.点G B.点D C.点E D.点F 【合作探究】 任务驱动一 三角形的中位线与第三边中线的关系 1.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 如图,在△ABC中,D、E、F分别是三角形三边的中点,求证:AE、DF互相平分. 变式演练 如图,△ABC的中线BD、CE相交于O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG. 任务驱动二 三角形两条中线的关系 2.看课本“例2”,关上书本,自己写出证明过程. 归纳总结 三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心.三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 任务驱动三 三角形中位线的应用 3.【易错题】如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF的长度可能为 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 参考答案 【预习导学】 知识点二 解:位置关系:DE∥BC. 数量关系:DE=BC. 证明:∵DE是△ABC的中位线, ∴==. 又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ∴==,∠ADE=∠B, ∴DE=BC,DE∥BC. 归纳总结 平行 第三边的一半 ∥ BC 对点自测 1.解:略. 2.C 3.B 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:如图,连结DE、EF. ∵AD=DB,BE=EC, ∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半). 同理,EF∥AB. ∴四边形ADEF是平行四边形, ∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分). 变式演练 证明:如图,连结DE,FG, ∵BD、CE是△ABC的中线, ∴D,E是AB,AC边的中点, ∴DE∥BC,DE=BC, 同理:FG∥BC,FG=BC, ∴DE∥FG,DE=FG, ∴四边形DEFG是平行四边形, ∴EF∥DG,EF=DG. 任务驱动二 2.解:略. 归纳总结 任务驱动三 3.B
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