2.2.1 直线的点斜式方程 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 一、求直线的点斜式方程 问题1 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 知识梳理 我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式. 例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°. 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点. 二、直线的斜截式方程 问题2 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 知识梳理 1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 延伸探究1 本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 延伸探究2 若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 例3 已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 反思感悟 (1)若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2 k1k2＝－1. (2)含参直线化为斜截式方程时注意分类讨论. 跟踪训练2 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 2.已知直线l的方程为y＋(x－1)，则l在y轴上的截距为( ) A.9 B.－9 C. D.－ 3.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( ) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 4.已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝ . 答案精析 问题1 根据过两点的直线的斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0). 知识梳理 y-y0=k(x-x0) 点斜式方程 例1 解 (1)由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为 y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率 k=tan 135°=-1， 故所求直线的点斜式方程为 y-4=-(x+1). 跟踪训练1 解 (1)∵直线y=x的斜率为， ∴直线y=x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为 y+3=(x-2)， 即x-y-2-3=0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率 ... ...
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