中小学教育资源及组卷应用平台 第48讲 几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型 与梯子滑行模型 考点展示·课标透视 “PA+k·PB”型的最值问题,当k值为1时,即可转化为“PA+PB”型的最值问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理. 而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则难以进行，因此必须转换思路. 此类问题的处理通常以动点 P 所在图形的不同来分类.一般分为两类研究，即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动. 其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题，点P 在圆上运动的类型称之为“阿氏圆”问题. 知识导航·学法指引 分类研究·深度理解 考点一 胡不归模型 【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢 这就是流传千百年的“胡不归问题. 【模型详解】 条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k PA+PB（k＜1）的最小值. 图示： 解题步骤： 1） 作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧. 2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k PA，此时k PA+PB=PC+BP. 3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的 解题大招：即当B，P，C三点共线时，k PA+PB取最小值，最小值为BD的长度. 模型总结：在求形如“k PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k PA相等的线段，将“k PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k PA的等线段 注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可. 【模型拓展】 对形如a PA+b PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值. 【典例1】（ 2025·黑龙江龙东）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM＝3，则AMBM的最小值为 5 ． 【分析】在BC上取点G，使CG＝1，构造出△MCG﹣△BCM，得，再根据两点之间线段最短得出即当M在AG上时， 取最小值． 【解答】解：在BC上取点G，使CG＝1， 又∵BC＝9，CM＝3，， 又∵∠MCG＝∠MCB， ∴△MCG∽△BCM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当M在AG上时，取最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出． 【典例2】例 1 (胡不归问题)如图3-5-6,四边形 ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,M 为对角线BD(不含 B 点)上任意一点，则 的最小值为 . 答案：2 【简析】如何将 BM转化为其他线段呢 本题k值为 ，可转化为某一角的正弦值，即转化为30°角的正弦值. 思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直 BC 于点 N,则 即 最小转化为AM+MN最小，本题得解. 解:如图3-5-7,作 AN⊥BC,垂足为 N,AN 交BD 于点M, ∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°, 即 的最小值为AN 的长. 在 Rt△ABN 中,AN=AB·sin∠ABC=4× 的最小值为2 变式思考:(1)本题若求“2AM+BM”的最小值,你会求吗 (2)本题若求“AM+BM+CM”的最小值,你会求吗 答案：((1)4 (2)4 【典例 ... ...
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