【学霸笔记：同步精讲】章末综合测评3 空间向量与立体几何 练习--2026版高中数学北师大版选必修1

章末综合测评(三) 1．A　[由a∥b，得，∴x＝6，y＝－10．] 2．C　[由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面α内，也满足a⊥n．] 3．B　[y轴的方向向量s＝(0，1，0)，cos＝，即y轴与平面α夹角的正弦值是，故其夹角是．] 4．A　[设＝a，＝b，＝c，则＝a+b+c，＝a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a＝25，因此＝5．] 5．D　[∵a，b不共线，∴存在x，y，使c＝xa＋yb． ∴．] 6．A　[取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错误．又A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错误． 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 则C(0，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a)，P，∴＝(0，a，0)，＝(a，0，a)，， 设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量， 则由 令z＝1，则x＝－2，y＝0， 所以n＝(－2，0，1)是平面PGCD的一个法向量． 设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝，A正确，C错误． 故选A．] 7．B　[设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，cos<，sin<．] 8．A　[法一：作HG⊥BB1于G(图略)，则B1G＝1，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2． 法二：分别以CD，CB，CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H，设P，由HP＝，得，所以＝4，所以CP的最小值为－2．] 9．AB　[设M(0，0，z)，直线l的一个单位方向向量s0＝，故点M到直线l的距离d＝，解得z＝±3．] 10．BCD　[若a⊥n，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以A中命题是假命题： 若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线a⊥平面α，所以B中命题是真命题： 直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以C中命题是真命题： 两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以D中命题是真命题．故选BCD．] 11．AC　[因为侧棱AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥CD，因为△ABC是等边三角形，所以AD＝BD，所以CD⊥AB，因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1D，又A1D 平面AA1D，则CD⊥A1D，A正确． 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(－1，0，)，A(－1，0，0)，C1(0，)，B1(1，0，)，C(0，，0)，所以＝(1，0，－＝(1，)， 所以cos<，所以异面直线A1D与AC1夹角的余弦值为，B不正确，C正确． 设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(2，0，＝(1，)， 则 取z＝2，则平面AB1C1的一个法向量为n＝(－，－，2)， 因为＝(0，－，0)，且·n＝≠0， 所以CD∥平面AB1C1不成立，D不正确．故选AC．] 12．－1或3　 1　[∵c＝(1，1，1)，a＝(1，1，x)，∴c－a＝(0，0，1－x)，由|c－a|＝2，得＝2，∴x＝－1或3： 当(c－a)⊥(2b)时，∴(c－a)·(2b)=(0，0，1－x)·(2，4，2)＝2(1－x)＝0，∴x＝1．] 13．(－2，0，0)　[设平面α与x轴的交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，则n·＝0，即x＋0＋2＝0，得x＝－2， 故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)．] 14．　[由已知得，＝(－1，－1，0)，＝(－4，－1，0)，＝(0，－1，2)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)， 取x＝－1，得n＝(－1，4，2)． 则h＝．] 15．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC． (2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，D(0，0，0)，B(1，0， ... ...