【学霸笔记：同步精讲】第五章 §3 习题课 组合的应用 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

习题课　组合的应用 学习任务 核心素养 1．通过实例进一步理解组合的概念．(重点) 2．掌握组合数公式，能解决有关组合的实际问题．(难点) 通过解决有关组合的实际问题，培养数学建模素养． 1．特殊优先法 特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的组合问题，我们可以从这些特殊之处入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其他的元素或位置． 【例1】　从7名男同学和5名女同学中，选出5名同学． (1)其中A，B两同学都当选，共多少种方法． (2)其中A，B两同学都不当选，共有多少种方法 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 2．分类讨论法 分类讨论法:对于较复杂的组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行分类讨论，而讨论时应正确确定分类标准，避免重复或遗漏现象的发生． 【例2】　从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选派方案有多少种 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 3．间接法 间接法:即从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．“至多问题”“至少问题”“既有……又有……问题”，一般都有直接法和间接法两种解法，应根据具体情况进行选择． 对于分类讨论法中的问题也可以用间接法求解． 例2的另一种解法: 可先不考虑“至少有1名女生”这个限制条件，从6人中任选3人，不同的选法有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)． 1．在平面直角坐标平面中，在平行直线x＝n(n＝1，2，3，4)与平行直线y＝n(n＝1，2，3，4)组成的图形中，矩形共有(　　) A．16个　　B．25个　　C．36个　　D．100个 2．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(　　) A．72　　B．70　　C．66　　D．64 3．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　) A．36种　　B．24种　　C．22种　　D．20种 4．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有_____种(用数字作答)． 类型1　有限制条件的组合问题 【例1】　在某地的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问: (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种 (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种 (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种 [思路点拨]　解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确地分类或分步解决． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法； (2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步； (3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略． [跟进训练] 1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法 (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． _____ _____ _____ 类型2　几何元素的计数问题 【例2】　在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线 [思路点拨]　解答本题可用间接法求解，从28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构 ... ...