【学霸笔记：同步精讲】第五章 §4 4.2 二项式系数的性质 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

4.2　二项式系数的性质 学习任务 核心素养 1．了解杨辉三角． 2．掌握二项式系数的性质．(重点) 3．会用赋值法求系数和．(难点、重点) 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养． 　　同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式： 　　这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就． 1．当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图： (1)该表叫作二项式系数表，也称为杨辉三角； (2)特征：表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 2．(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质： (1． (2． (3)当r<时，C ；当r>时，． (4＋…＋＝2n． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)杨辉三角中的每个数都是组合数． (　　) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　) (3)二项展开式的二项式系数和为2n． (　　) (4)当x>0，且n∈N时，≥1＋nx． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项　　　　 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项　　 D．第n－k＋2项 D　[第k项的二项式系数是，由于，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．] 3．若二项式的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为_____． 560　[取x＝1，得二项式的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2．二项式·(x2)7-k··(－2)k·x14-3k．令14－3k＝2，得k＝4．因此，二项式·(－2)4＝560．] 4．已知在(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝_____． 3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5．② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3．] 类型1　与杨辉三角有关的问题 【例1】在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示． 问：在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5吗 [思路点拨]　由杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)n中n值较小时． [解]　杨辉三角的第n行是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即．如果第n行中有三个连续的系数之比为3∶4∶5，那么就有一个正整数k，使得 从而有 即，它们的比为3∶4∶5． 　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察． [跟进训练] 1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数：1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是_____． 6　[由题图知，第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是……第9个数是，第10个数是．] 类型2　赋值法求多项式的系数和 【例2】　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a7＋a6＋…＋a1； (2)a7＋a5＋a3＋a1； (3)a6＋a4＋a2＋a0； (4)|a7|＋|a6|＋…＋|a1|． [解]　(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① ∴a7＋a6＋…＋a1 ... ...