【学霸笔记：同步精讲】第一章 §2 2.3 直线与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

2.3　直线与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离．(重点) 2．会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．(难点) 3．会求圆的弦长及切线方程等问题．(重点) 1．通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象素养． 2．通过求圆的弦长及切线方程等问题，提升数学运算素养． 1．直线与圆有哪几种位置关系？ 2．在平面几何中，直线与圆的位置关系是如何判定的？ 3．如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？ 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的．“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点． (　　) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心． (　　) (3)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A 3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为_____． x2＋y2＝2　[设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)，由＝a，得a＝．∴x2＋y2＝2．] 4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，则直线l的方程为_____． x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0　[将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，所以圆心的坐标是(0，－2)，半径长r＝5． 因为直线被圆截得的弦长为4， 所以弦心距为＝， 设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0． 由弦心距为，得＝，解得k＝－或k＝2，所以所求直线有两条，它们的方程分别为x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．] 类型1　直线与圆位置关系的判断 【例1】　已知直线l的方程mx－y－m－1＝0，圆C的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，直线l与圆C：有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ [解]　法一：将直线代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0． ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2时，即－