【学霸笔记：同步精讲】第二章 §2 2.2 双曲线的简单几何性质 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

2.2　双曲线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象与数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养． 在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？ 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线C有怎样的对称性？为什么？ 双曲线的性质 标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 性质 渐近线 ±＝0或y＝±x ±＝0或y＝±x 离心率 e＝(e＞1) (1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． (2)e2＝＝1＋是渐近线的斜率或其倒数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线的离心率越大，它的开口越小． (　　) (2)双曲线的离心率的取值范围是． (　　) (3)双曲线＝1的虚轴长为4． (　　) (4)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 　(4)√ 2．设双曲线＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4　　　　 B．3　　 C．2　　　　 D．1 C　[由渐近线方程可知＝，所以a＝b＝×3＝2．] 3．若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝_____． 　[双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1， 依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1， 解得m＝或m＝－(舍去)．] 类型1　双曲线的简单性质 【例1】　【链接教材P67例5】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨]　先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质． [解]　 双曲线的方程化为标准形式是＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝． 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x． 【教材原题·P67例5】 例5　求双曲线9x2－16y2＝－144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线． [解]　将9x2－16y2＝－144化为标准方程，得＝1． 所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦点坐标为(0，－5)，(0，5)，顶点坐标为(0，－3)，(0，3)，渐近线方程为y＝±x． 如图2－26，首先画出x＝±4，y＝±3，作出矩形； 图2－26 然后作出矩形对角线所在的直线，得到渐近线y＝±x； 最后以渐近线为参照画出双曲线． 　1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c的关键． 2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系． [跟进训练] 1．双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为_____，离心率为_____，渐近线方程为_____． (－1，0)，(1，0)　　y＝±2x　[将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，∴a＝1，b＝2，c＝， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±2x．] 类型2　利用双曲线的性质 ... ...