【学霸笔记：同步精讲】第二章 §4 4.1 直线与圆锥曲线的交点 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 讲义--2026版高中数学北师大版选必修1

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习任务 核心素养 1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系．(重点) 2．掌握直线与圆锥曲线有关问题的求解方法．(难点) 1．通过学习直线与圆锥曲线的三种位置关系，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助求解直线与圆锥曲线的有关问题，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养． 1．设曲线C1：f (x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，则点是曲线C1，C2的一个交点的充要条件是什么？ 2．如何求曲线C1，C2的交点？ 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(x)得到一个关于变量x(y)的一元方程， 即消去y后得ax2＋bx＋c＝0． (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ， Δ＞0 直线与圆锥曲线C____； Δ＝0 直线与圆锥曲线C____； Δ＜0 直线与圆锥曲线C____． (2)当a＝0，b≠0时，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是____； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_____． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|(k≠0)． 若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线一定相切吗？ _____ _____ _____ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线y＝x与抛物线y2＝2x的交点是点(0，0)与(2，2)． (　　) (2)直线y＝k与抛物线y2＝2x一定相交． (　　) (3)当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线不可能相切． (　　) (4)直线与圆锥曲线公共点最多两个． (　　) 2．过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(　　) A．1条　　　 B．2条　 C．3条　　　 D．4条 3．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为_____． 4．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点的坐标为_____． 类型1　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】　【链接教材P79例3】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的相应取值范围． [思路点拨]　在第(1)问中，可用直接法求点M的轨迹方程．在第(2)问中，需注意考虑k＝0及k≠0的情况，当k≠0时，还需讨论方程的判别式Δ． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离． 2．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零． [跟进训练] 1．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＝1的公共点个数为(　　) A．0　　　 B．1　　 C．2　　　 D．不确定 类型2　弦长问题 【例2】　过点P(－1，1)的直线与椭圆＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|． [思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)，再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此 ... ...