【学霸笔记：同步精讲】第五章 §4 4.2 二项式系数的性质 课件--2026版高中数学北师大版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第五章　计数原理 §4　二项式定理 4.2　二项式系数的性质 学习任务 核心素养 1．了解杨辉三角． 2．掌握二项式系数的性质．(重点) 3．会用赋值法求系数和．(难点、重点) 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养． 　　同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式： 必备知识·情境导学探新知 　　这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就． 1．当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图： (1)该表叫作_____，也称为杨辉三角； (2)特征：表中每行两端都是_，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数____． 二项式系数表 1　 之和　 2．(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质： (1． (2_____． (3)当r<时， ___ ；当r>时，． (4＋…＋＝___． <　 <　 2n 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)杨辉三角中的每个数都是组合数． (　　) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　) (3)二项展开式的二项式系数和为2n． (　　) (4)当x>0，且n∈N时，≥1＋nx． (　　) √ × √ √ 2．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是 (　　) A．第n－k项　　　 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项　 D．第n－k＋2项 √ D　[第k项的二项式系数是，由于，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．] 3．若二项式的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为_____． 560　[取x＝1，得二项式的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2．二项式 (x2)7-k(－2)kx14-3k．令14－3k＝2，得k＝4．因此，二项式(－2)4＝560．] 560　 4．已知在(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝_____． 3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5．② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3．] 3　 关键能力·合作探究释疑难 类型1　与杨辉三角有关的问题 【例1】在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的 两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示． 问：在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数， 它们的比是3∶4∶5吗 [思路点拨]　由杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)n中n值较小时． [解]　杨辉三角的第n行是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即．如果第n行中有三个连续的系数之 比为3∶4∶5，那么就有一个正整数k，使得 从而有 即 ，它们的比为3∶4∶5． 反思领悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察． [跟进训练] 1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数：1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是_____． 6　[由题图知，第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是……第9个数是，第10个数是．] 6　 类型2　赋值法求 ... ...