【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.2 空间向量的数量积运算 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　 1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算) 探究1　空间向量的数量积运算 问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量的数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则_____叫做向量a，b的夹角，记作_____ 范围 _____ 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a_____b 2．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则_____叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝_____． 规定：零向量与任意向量的数量积为_____． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b _____ 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝_____， |a|＝，|a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____ 3．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝_____，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． [典例讲评]　【链接教材P7例2】 1．如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)； (2)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　由向量的数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． [学以致用]　1．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则＝(　　) A．4 B．0 C．－2 D．－8 2．已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　) A．－b B．b C．b D．－b 探究2　空间向量的数量积的应用 　求夹角 [典例讲评]　2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ... ...