【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.2 3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [学习目标]　 1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．会求解双曲线的弦长问题．(数学运算、逻辑推理) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？ 问题2．你了解双曲线的第二定义吗？ 探究1　双曲线定义及其应用 问题1　通过学习教材P125例5，你有什么发现？ [提示]　当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线． [新知生成] 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 【教用·微提醒】　(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． [典例讲评]　【链接教材P125例5】 1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是点的集合P＝， 由此得＝． 将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144， 即＝1． 所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为8、虚轴长为6的双曲线． [母题探究]　动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l：x＝8的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝， 由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即＝1． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆． 【教材原题·P125例5】 例5　动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝， 由此得＝． 将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63， 即＝1． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2 11)． 　双曲线和椭圆有统一的定义：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，点M的轨迹是椭圆． [学以致用]　【链接教材P127习题3.2T10】 1．双曲线＝1上一点P到右焦点的距离为3，则点P到直线x＝的距离为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[由双曲线＝1知a＝3，b＝2，c＝， 离心率e＝＝，右焦点为F(，0)，设点P到直线x＝＝的距离为d，则＝e， 所以d＝＝＝＝．故选C．] 【教材原题·P127习题3.2T10】设动点M与定点F(c，0)(c＞0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是(a＜c)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． [答案]　＝1(a＞0)，轨迹是双曲线． 探究2　直线与双曲线的位置关系 问题2　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ [提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个交点． [新知生成] 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． a．当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0 直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0 直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离． 【教用·微提醒】　(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． [典例讲评]　2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨 ... ...