【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.3 3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 讲义--2026版高中数学人教A版选必修1

第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [学习目标]　 1．了解抛物线的简单应用．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(直观想象、数学运算) 探究1　直线与抛物线的位置关系 问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 直线与抛物线有三种位置关系：_____、_____和_____． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有_____个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0 直线与抛物线_____ 有_____个公共点． Δ＝0 直线与抛物线_____ 只有_____个公共点． Δ＜0 直线与抛物线_____ _____公共点． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点． [学以致用]　【链接教材P139习题3.3T12】 1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_____． 探究2　弦长问题 [典例讲评]　2．已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x． (1)若直线l与抛物线C相切，求实数b的值； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　试完成下列求弦长问题的方法 斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， (1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝． (2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)． [学以致用]　2．已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点． (1)将|AB|表示为t的函数； (2)若|AB|＝3，求△AFB的周长． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　抛物线的中点弦问题 [典例讲评]　3．过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...