【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.1 3.1.1 椭圆及其标准方程 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第三章 圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 [学习目标]　 1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象) 2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？ 问题2．如何推导椭圆的标准方程？ 问题3．椭圆的标准方程有何特征？ 探究建构 关键能力达成 探究1　椭圆的定义 问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中， 变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点) 满足的几何条件是什么？ [提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离的和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|． [新知生成] 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这_____叫做椭圆的焦点，_____叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a__|F1F2|． 常数 两个定点 两焦点间的距离 一半 > 【教用·微提醒】　(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． [学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　) √ × × √ [提示]　(1)√　因为|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆． (2)×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2． (3)×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在． (4)√ 探究2　椭圆的标准方程 问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？ [提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标 分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝， |MF2|＝， 所以＝2a．① 为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得＝2a－．② 对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a．③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＝1．⑤ 由椭圆的定义可知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0． 令b＝，那么方程⑤就是＝1(a＞b＞0)．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程． [新知生 ... ...