【学霸笔记：同步精讲】第三章 3.2 3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程的应用 课件--2026版高中数学人教A版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第2课时　双曲线及其标准方程的应用 第三章 圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 [学习目标]　 1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) 2．了解双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算) [教用·问题初探]———通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．双曲线的定义是什么？ 问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？ 探究建构 关键能力达成 探究1　双曲线的实际生活应用 [典例讲评]　【链接教材P120例2】 1．(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s．已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程． [解]　设爆炸点为P，由已知，得 |PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m)． 因为|AB|＝2 km＝2 000 m>1 360 m，|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上． 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000， b2＝c2－a2＝537 600． 因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是＝1(x>0)． 【教材原题·P120例2】 例2　已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． [分析]　先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． [解]　如图3.2-5，建立平面直角坐标系Oxy，使A， B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则 |PA|－|PB|＝340×2＝680， 即2a＝680，a＝340． 又|AB|＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44 400． 因为|PA|－|PB|＝680＞0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340． 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1(x≥340)． 反思领悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． [学以致用]　1．某飞船顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角． [解]　如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)． ∵|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)， ∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，① 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3， ∴点P的轨迹方程为＝1(x≥2)，② 联立①②，得P点坐标为(8，5)， ∴kPA＝＝， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°． 探究2　双曲线定义的应用 [典例讲评]　2．已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2．P是双曲线上一点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [解]　由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|· ... ...