【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 学习任务 核心素养 1．能根据定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点) 3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点) 1．通过对基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，培养数学运算的核心素养． 2．借助对导数运算法则的应用，提升逻辑推理的核心素养． 回顾1．求函数在x＝x0处的导数的方法． (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求变化率＝． (3)求极限f′(x0)＝． 回顾2．怎样求导函数？ (1)求改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． (2)求比值＝． (3)求极限f′(x)＝． 那么导数与导函数有什么区别和联系？如何求常见函数的导数？ 知识点1　基本初等函数的导数 (1)常用函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝C f′(x)＝0 f(x)＝kx＋b(k，b为常数) f′(x)＝_____ f(x)＝x f′(x)＝_____ f(x)＝x2 f′(x)＝_____ f(x)＝x3 f′(x)＝_____ f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ (2)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝_____ f(x)＝sin x f′(x)＝_____ f(x)＝cos x f′(x)＝_____ f(x)＝ax f′(x)＝_____(a>0且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝_____ f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点2　导数的运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和的导数 (f(x)＋g(x))′＝_____ 差的导数 (f(x)－g(x))′＝_____ 商的导数 ′＝ (g(x)≠0) 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0．　 (　　) (2)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g′(x)． (　　) (3)若f(x)＝ln x，则f′(e)＝1．　 (　　) (4)若f(x)＝x3＋2x，那么f(x)的图象在x＝x0处的切线斜率最小时x0＝0．(　　) 2．(1)′＝_____； (2)(xex)′＝_____． 3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝_____． 类型1　利用导数公式求函数的导数 【例1】　求下列函数的导数． (1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos ． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别． [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝x；(2)y＝(x＞0)；(3)y＝sin (π－x)． _____ 类型2　利用导数的运算法则求导数 【例2】　【链接教材P205例2、例3】 求下列函数的导数： (1)y＝x3＋sin x；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝． [尝试解答]　_____ _____ 　利用导数运算法则求函数的导数的两个策略 (1)解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则． (2)对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错，故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式． [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝x2－sincos ；(2)y＝x tan x． _____ _____ 类型3　导数计算的综合应用 【例3】　(1)已知函数f(x)＝－1(a>0)的图象在x＝1处的切线为l，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为_____． (2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_____． [尝试解答]　_____ _____ 　三次函数的求导问题 由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图 ... ...