【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 直线与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

2.2　直线与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．掌握直线与圆的三种位置关系，并会用代数法和几何法判断．(重点) 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？ 知识点　直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 __个 __个 __个 判定方法 几何法：设圆心到直线 的距离d＝ 比较d与r的大小 d__r d__r d__r 代数法：由 依据方程组解的情况 方程组____ 方程组_____ 方程组有两组不同解 判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？ _____ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　) 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 类型1　直线与圆的位置关系 【例1】　【链接教材P63例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [尝试解答]　_____ _____ 　直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [跟进训练] 1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为_____． 类型2　直线与圆相切问题 【例2】　【链接教材P64例2】 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为_____． (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上． (2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程． [尝试解答]　_____ _____ 　圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：要注意切线的斜率不存在的情况． [跟进训练] 2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为_____． 类型3　直线与圆相交问题 【例3】　【链接教材P65例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|． (2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 1．若直线与圆交于两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？ 2．在(1)中如何表示CM的长？ [尝试解答]　_____ _____ ... ...