【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.2 4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第4章　数列 4.2.3　等差数列的前n 项和 第2课时　等差数列前n 项和的性质 学习任务 核心素养 1．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．借助等差数列前n项和Sn性质的应用，培养逻辑推理素养． 2．通过应用裂项相消法求和，培养数学运算素养． 1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0)． 反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ 2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，_____，S3n－S2n，_____n2＋bn(a，b为常数)． 思考　如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？ S2n－Sn S4n－S3n [提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d． ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列． (3)在等差数列{an}中，数列为等差数列． 体验在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 √ B　[∵， ∴． ∴n＝10．故选B．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1�———�片段和”的性质 【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10．求S110． [思路探究]　(1)可利用方程(组)思想求解． (2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列的前11项的和求解． [解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则解得 ∴S110＝110a1＋d ＝110× ＝－110． 法二：∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90， ∴a11＋a100＝－2． 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝＝－110． 法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列， ∴设该数列的公差为d，其前10项和为S10＋S20－S10＋…＋S100－S90＝S100＝10×100＋d＝10，解得d＝－22． ∴S110＝11×100＋×(－22)＝－110． 法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则(n－1)． ∴数列是等差数列，其公差为． ∴＝(100－10)×， 且＝(110－100)×． 代入已知数值，消去d，可得S110＝－110． 法五：令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10， ∴解得 ∴S110＝1102A＋110B＝1102×＝－110． 反思领悟　本题可从不同角度应用等差数列的性质(如通性通法，运用Sn和an之间的关系，运用前n项和“片段和”的性质，使用性质也是等差数列，前n项和Sn＝An2＋Bn表示的特点等)，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决． [跟进训练] 1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m． [解]　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210． 类型2　裂项相消法求和 【例2】　在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求． [解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴Sn＝na1＋d ＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴， ∴ ＝… ＝. 反思领悟　1.裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是 ... ...