【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.4 数学归纳法 课件--2026版高中数学苏教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第4章　数列 4.4　数学归纳法* 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过对数学归纳法定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理素养． 在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 你认为第二个条件的作用是什么？ 必备知识·情境导学探新知 知识点　数学归纳法 (1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： ①证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； ②假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当_____时命题也成立． 根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法． n＝k＋1 (2)数学归纳法的框图表示 n＝n0 n＝k(k，k∈N*) 从n0开始的所 有正整数n n＝k＋1 思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3． 体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推． (　　) (2)用数学归纳法证明3nn2(n3，n∈N*)，第一步验证n＝3． (　　) (3)设Sk＝，则Sk＋1＝． (　　) × × √ [提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝． 体验2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，计算左边所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．] √ 体验3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(　　) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) √ C　[当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　【链接教材P171例3】 (1)用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋q C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3 √ (2)用数学归纳法证明： (n∈N*)． (1)C　[当n＝1时，左边＝1＋q＋q1+1＝1＋q＋q2．] (2)[证明]　 ①当n＝1时，成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ， 则当n＝k＋1时，，即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 【教材原题·P171例3】 用数学归纳法证明：当n∈N*时， 12＋22＋32＋…＋n2＝． [证明]　(1)当n＝1时， 12＝1，＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＝， 那么，当n＝k＋1时，有 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝ ＝． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1时证明目标的表达式变形． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) ... ...