2024-2025学年江苏省无锡市某校高二上学期期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.欧拉公式为自然对数的底，是虚数单位，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.设为等比数列的前项和，，则 A. B. C. D. 3.如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则( ) A. B. C. D. 4.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A. B. C. D. 或 5.两圆与的公共弦长等于( ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，已知双曲线，的左焦点为，点，在双曲线上若四边形为菱形，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 7.如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，第四层有个小球设第层有个小球，则的值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，则下列说法中正确的是 ． A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10.如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是( ) A. 过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B. 当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点到直线的距离的最小值为 D. 当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线就是其中之一，下列结论中正确的是( ) A. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于 B. 曲线关于轴对称 C. 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点 D. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ． 13.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点，则点到平面的距离为 ． 14.对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”已知，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程； 以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程． 16.本小题分 已知等差数列的前项和为，且，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 17.本小题分 四棱锥中，四边形为菱形，，平面平面． 证明：； 若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 18.本小题分 若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列． 若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值； 若是首项为，公比为的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前项的和． 若一个“数列满足，设数列的前项和为是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19.本小题分 已知椭圆的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点． 若是线段的中点，求直线的方程． 点在上，过点的直线交椭圆于两点异于点，过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为． 证明：为定值 证明：直线过线段的中点． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.易知到直线的距离为圆半径， 所以，则圆方程为， 过做，由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知． 当动直线斜率不存在时，设直线的方程 ... ...
