【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学习任务 核心素养 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养． 类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？ 知识点1　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 1．(1)点P(2，1)与椭圆＝1的位置关系是_____． (2)若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是_____． 类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？ 知识点2　直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆____； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆____； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆____． (2)弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝ ＝ ＝， 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． (　　) (2)已知椭圆＝1(a>b>0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线． (　　) (3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＝1的位置关系是相交． (　　) 类型1　直线与椭圆的位置关系 【例1】　【链接教材P125例5】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　直线与椭圆位置关系的判断方法 [跟进训练] 1．在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　弦长和中点弦问题 【例2】　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵)坐标之和可求，由此思考解决问题的方法． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ... ...