【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习任务 核心素养 1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点) 2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 3．会用裂项相消法求和．(易错点) 1．通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模素养． 2．借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算素养． 1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时) Sn＝n2＋n． 反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？ 2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？ 知识点1　等差数列前n项和“片段和”的性质 等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…，构成等差数列． 1．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝_____． 15　[由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．] 知识点2　等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝． (2)若等差数列{an}的项数为2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝． (3)若等差数列{an}的项数为2n－1，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan， S奇－S偶＝an，＝． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． (　　) (2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…，成等差数列． (　　) (3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　) A．9　　　　B．10　　　　C．11　　　　D．12 B　[∵＝，∴＝．∴n＝10．故选B．] 类型1　利用Sn与an的关系判断等差数列 【例1】　【链接教材P20例9】 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． [解]　Sn＝2n2＋3n， 则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1． 又a1＝5适合an＝4n＋1， ∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋)． 当n≥2时，an－an－1＝(4n＋1)－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． [母题探究] (变条件)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． [解]　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n．又a1＝1不满足an＝2n，∴数列{an}的通项公式是an＝ 当n≥2时，an－an－1＝2n－2(n－1)＝2． ∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列． 【教材原题·P20例9】 例9　设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，求证：{an}是等差数列． [证明]　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an 与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2) 可知，当n≥2时，有 an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)] ＝2n＋1． 当n＝1时，a1＝S1＝3，也满足上式． 所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N＋)． 当n≥2时，有 an－an－1＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2， 所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列． 　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． [跟进训练] 1．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn ... ...