【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.2 2.2.2 直线的两点式方程 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

2.2.2　直线的两点式方程 学习任务 核心素养 1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(重点、易混点) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(重点) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(难点) 1．通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养． 2．借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养． 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km．现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使商业中心O到A，B两处的距离之和最短． 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？ 知识点1　直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2， y1≠y2 斜率存在且不为0 1．不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？ [提示]　平行于坐标轴或与坐标轴重合． 1．已知直线l过点A(3，1)，B(2，0)，则直线l的方程为_____． x－y－2＝0　[过A(3，1)，B(2，0)两点的直线方程为＝，整理得x－y－2＝0．] 知识点2　直线的截距式方程 直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距，直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a和b确定，称为直线的截距式方程． 2．一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？ [提示]　当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示． 2．直线＝1在y轴上的截距是_____． －b2　[直线的截距式方程为＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2．] 类型1　直线的两点式方程 【例1】　【链接教材P68例5】 (1)过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D．2 (2)已知△ABC的三个顶点分别为A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程． (1)A　[由直线的两点式方程得过点(－1，1)和(3，9)的直线方程为＝，即2x－y＋3＝0．令y＝0，得x＝－，故选A．] (2)[解]　直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝，整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，由两点式得＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，由两点式得＝，整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程． 因为A(－5，0)，B(3，－3)，所以AB的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程．由直线的两点式方程得＝，即＝，所以y－2＝x，即7x－2y＋4＝0． 【教材原题·P68例5】 例5　如图2.2-4，三角形的顶点分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝． 整理得2x＋5y＋10＝0． 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为＝． 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝． 整理得10x＋11y＋8＝0． 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． 　利用两点式求直线方程的步骤 (1)首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等． (2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解． 提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系． [跟进训练] 1．已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． [解]　直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝， 整理，得4x－3y＋5＝0， ... ...