【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.4 点到直线的距离 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

2.4　点到直线的距离 学习任务 核心素养 1．理解点到直线的距离公式的推导过程，会用点到直线的距离公式求距离并推导两平行线间的距离．(难点) 2．掌握两点间的距离公式及点到直线的距离公式，能用两点间的距离公式及点到直线的距离公式解决实际问题．(重点) 通过研究两点间的距离公式、点到直线的距离公式即两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P． (1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ (2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？ 知识点1　两点间的距离公式 两点间的距离公式：平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝． 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a＝(　　) A．1　　　B．－5　　　C．1或－5　　D．－1或5 知识点2　点到直线的距离公式 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 1．(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝_____． 知识点3　两平行线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 2．(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．1 类型1　两点间距离公式及应用 【例1】　(1)在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5，5)　　　　　　　　 B．(－1，1) C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1) (2)如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　坐标法及其应用 (1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系 ... ...