【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.2 1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章 数列 1.2　等差数列 1.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 学习任务 核心素养 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养． 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？” 思考：怎样计算1＋2＋3＋…＋99＋100 必备知识·情境导学探新知 知识点1　等差数列的前n项和公式及推导 等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]．① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]．② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝＋an)，∴Sn＝． 又∵an＝a1＋(n－1)d，∴上述公式又可以写成Sn＝na1＋d 体验　思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式． (　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn． (　　) √ × × [提示]　(1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1． 又因为a1＝S1＝3， 所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数． 知识点2　等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最__值． 特别地，若a1>0，d>0，则___是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，则___是{Sn}的最大值． 小 大 S1 小 S1 思考　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？ [提示]　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 类型1　等差数列前n项和的有关计算 【例1】　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　 　B．22　　　 C．20　　 　D．15 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝____． (3)在等差数列{an}中，若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，则公差d＝_____． 关键能力·合作探究释疑难 √ 15 －171 (1)C　(2)15　(3)－171　[(1)法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C． 法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5　①，由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45　②，由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20，故选C． (2)设等差数列{an} ... ...