【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.3 1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和公式 课件--2026版高中数学湘教版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第1章 数列 1.3　等比数列 1.3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 1．通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养． 2．借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养． 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小 格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和 为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形围成的扇形 面积为cn，请问你用什么方法能求出Sn和cn呢？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　等比数列的前n项和公式 na1 na1 思考　类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn [提示]　可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数． 体验　1．若在等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，求公比q． [解]　若q＝1时，S3＝3a1＝3符合． 若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3． 解得q＝－2． 故公比q的值为1或－2． 知识点2　错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫作错位相减法．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为____数列，{bn}为____数列． 等差 等比 体验　2．求和S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn． [解]　当x＝0时，S＝0， 当x＝1时，S＝1＋2＋3＋…＋n＝， 当x≠1且x≠0时，S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， ① xS＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn+1， ② ①－②得(1－x)S＝(x＋x2＋…＋xn)－nxn+1＝－nxn+1， ∴S＝． 类型1　等比数列基本量的运算 【例1】　在等比数列{an}中． (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q． 关键能力·合作探究释疑难 [解]　(1)由题意知解得或 从而Sn＝×5n+1－或Sn＝． (2)法一：由题意知解得从而S5＝＝． 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝． 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝． (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q为2或． 反思领悟　1．“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．“值得注意”：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． [跟进训练] 1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2·a4＝ (　　) A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32 (2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 √ √ (1)A　(2)D　[(1)因为S3＝，S6＝，即S6≠2S3，所以q≠1，所以 两式相除可得＝，所以q3＝8，即q＝2，a1＝ ，则a2·a4＝q4＝×24＝4．故选A． (2)在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q．由已知得q＝1不成立，因此q≠1．由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，即a1q·(8＋q3)＝0， 由等比数列的性质知q＝－2，所以＝＝＝－11，故选D．] 类型2　错位相减法 【例2】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 尝试与发现 (1)可用基本运算，解方程组的方法求an ... ...