2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习目标 1.理解一元二次方程的定义,并会求一元二次方程的解集,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.掌握一元二次方程的根与系数的关系,培养数学运算的核心素养. 知识探究 1.一元二次方程 形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程,其中a,b,c是常数,且a≠0. [思考1] 方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗 提示:不一定,当a≠0时,为一元二次方程,当a=0,b≠0时,为一元一次方程. 2.判别式Δ与一元二次方程的解集 Δ=b2-4ac的符号情况决定了方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况: (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=,方程的解集为{,}. (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-,方程的解集为{-}. (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根,方程的解集为 . 一般地,Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. [思考2] 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=适合用于所有的一元二次方程吗 提示:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用,即当判别式Δ=b2-4ac≥0时适用. [做一做1] 已知关于x的方程x2-x+m=0的解集有两个元素,则m的取值范围为 . 解析:由Δ=1-4m>0,解得m<. 答案:(-∞,) 3.一元二次方程根与系数的关系 当Δ=b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1=, x2=,则有 [思考3] 利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件 提示:先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证是否满足a≠0, Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题. [做一做2] 已知方程x2-px-q=0,其解集为{-1,3},则p与q的值分别为( B ) A.p=-2,q=3 B.p=2,q=3 C.p=-2,q=-3 D.p=2,q=-3 解析:由题可知-1和3是方程x2-px-q=0的两个根,则-1+3=p,-1× 3=-q, 解得p=2,q=3. 若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不同的实数根,则|x1-x2|=(其中Δ=b2-4ac).在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 探究点一 判断一元二次方程根的个数与解方程 [例1] 求下列关于x的方程的解集(其中a为常数). (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3)x2-ax+(a-1)=0. 解:(1)因为Δ=32-4×1×3=-3<0,所以方程的解集为 . (2)该方程的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根, x1=,x2=. 即解集为{,}. (3)该方程的判别式Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, ①当a=2时,Δ=0,此时方程有两个相等的实数根x1=x2=1,即解集为{1}; ②当a≠2时,Δ>0,此时方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1,即解集为{1,a-1}. 判断一元二次方程根的情况 主要是根据判别式的符号,当判别式含字母时,需要讨论. [针对训练] 不解方程,判断下列方程的实数根的个数. (1)2x2-3x+1=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(x2+3)-6x=0. 解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,所以方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y2-12y+9=0, 因为Δ=(-12)2-4×4×9=0, 所以原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x2-6x+15=0, 因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0,所以原方程没有实数根. 探究点二 根据根的情况求参数 [例2] 若关于x的方程x2+2x+a=0两根异号,则a的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(0,1) 解析:方程有两个不相等的实数根,则Δ=4-4a>0,解得a<1. 设x1,x2是方程x2+2x+a=0的两根,因为方程的两根异号, 所以x1·x2=a<0, 所以a的取值范围是(-∞,0).故选C. 含参数的一元二次方程有根的条件 (1)含参数的一元二次方程有根的条件在保证二次项系数不为0的前提下,首先满足Δ≥0. (2)若方程有两个正根,则, (3)若方程有两个负根,则 (4)若方程有一个正根和一个负根,则 [针 ... ...
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