4.2.1 指数函数的概念 【学习目标】 通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念,能说出指数函数的定义. ◆ 知识点一 指数函数的定义 一般地,函数y=ax( )叫作 ,其中指数x是自变量,定义域是 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=-2x是指数函数. ( ) (2)函数y=是指数函数. ( ) (3)函数y=(-5)x是指数函数. ( ) (4)函数y=xx(x>0)是指数函数. ( ) ◆ 知识点二 指数型函数 形如 (k∈R且k≠0,a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数,此类函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. ◆ 探究点一 指数函数的概念 例1 (1)给出如下几个函数:①y=2-x;②y=3x+1;③y=5x;④y=(a-1)x·3x(a<1);⑤y=3×πx;⑥y=x3;⑦y=(a+1)x(a>-1且a≠0);⑧y=(-4)x.其中是指数函数的有 (填序号). (2)若函数y=(a2-5a+5)·ax是指数函数,则实数a= . 变式 (1)(多选题)下列函数是指数函数的有( ) A.y=x4 B.y= C.y=22x D.y=-4x (2)若函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则a= . [素养小结] 指数函数的解析式必须具有三个特征:①底数a为大于0且不等于1的常数;②指数位置是自变量x;③ax的系数是1. ◆ 探究点二 指数函数的解析式及应用 例2 已知函数f(x)=,a为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2). (1)求a的值; (2)若g(x)=4-x-2,且g(m)=f(m),求m的值. 变式 (1)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)满足f(2)=81,则f的值为 ( ) A.± B.±3 C. D.3 (2)若函数f(x)=(a2-3a-3)ax是指数函数,则ff(-1)的值为 . [素养小结] (1)求指数函数解析式的关键是求底数a,并注意a的限制条件. (2)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (3)求指数函数的函数值的关键是得到指数函数的解析式. ◆ 探究点三 指数型函数的实际应用 例3 截至2024年年底,某市人口为130万.若今后能将人口年平均增长率控制在3‰,设经过x(x∈N*)年后,该市人口为y万. (1)求y关于x的函数关系式. (2)若按此增长率,2035年年底该市的人口约是多少 (计算结果保留到小数点后两位.参考数据:1.00310≈1.030 4,1.00311≈1.033 5,1.00312≈1.036 6,1.00313≈1.039 7) (3)哪一年年底该市的人口首次达到135万 变式 (1)[2025·北京八十中高一期中] 随着我国经济的不断发展,2023年年底某地区农民人均年收入为7000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2030年年底该地区的农民人均年收入为 ( ) A.7000×1.06×7元 B.7000×1.067元 C.7000×1.06×8元 D.7000×1.068元 (2)2025年1月5日,第41届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物含量N(mg/L)与时间t的关系为N=N0·2-kt(N0为最初污染物含量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了最初污染物的 ( ) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% [素养小结] 关于函数y=kax在实际问题中的应用 (1)函数y=kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律,若0
0,且a≠1 指数函数 R 诊断分析 (1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)因为2x的系数为-1,所以函数y=-2x不是指数函数. (2)因为指数不是x,所以函数y=2x-1不是指数函数. (3)因为 ... ... 