第2课时 指数函数的图象及其性质的应用 【学习目标】 1.会利用指数函数的性质解决定义域、值域问题. 2.会利用指数函数的单调性解指数不等式. 3.能利用复合函数的单调性解决与函数性质有关的综合问题. ◆ 知识点一 与指数函数有关的复合函数 函数y=af(x)(a>0,且a≠1)可转化为函数y=at进行研究,其中t= .若f(x)的定义域为R,则y=af(x)的定义域为 .函数y=af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y=at的单调性进行研究. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=a2x+1(a>0,且a≠1)的定义域是R,值域是(0,+∞). ( ) (2)函数y=的定义域是R. ( ) (3)函数y=-1的值域是(-1,+∞).( ) ◆ 知识点二 指数函数y=ax(a>0,且a≠1) 单调性的应用 1.a的取值与单调性:若0
1,x1ag(x)的不等式的讨论: 当0ag(x) ; 当a>1时,af(x)>ag(x) . 【诊断分析】 解不等式22x+3>. ◆ 探究点一 与指数函数有关的函数的定义域和值域 例1 求下列函数的定义域与值域. (1) y=;(2) y=;(3)y=;(4)y=. 变式 (1)函数f(x)=的定义域为 ( ) A.(-∞,2] B.(-∞,5)∪(5,+∞) C.[2,+∞) D.[2,5)∪(5,+∞) (2)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为 . (3)函数y=的值域是 . [素养小结] 函数y=af(x)的定义域、值域的求法: (1)定义域:形如y=af(x)的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合. (2)值域:①换元,令t=f(x);②求t=f(x)的定义域D;③求t=f(x)的值域M;④利用函数y=at的单调性求y=at,t∈M的值域. 需要注意的是,通过建立不等关系求定义域时,解集为各不等关系解集的交集;当指数型函数的底数含字母时,在求定义域、值域时要注意分类讨论. ◆ 探究点二 简单的指数不等式的解法 例2 (1)不等式<的解集是 ( ) A. B. C. D. (2)不等式>的解集为 . 变式 解关于x的不等式>(a>0,且a≠1). [素养小结] 1.解形如ax>ab(a>0,且a≠1)的不等式时,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0b(a>0,且a≠1)的不等式时,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解. 2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的一般步骤: ◆ 探究点三 与指数函数有关的函数的单调性 例3 求f(x)=的单调区间,并求其值域. 变式 (1)若函数f(x)=3x(x-a)在区间上单调递减,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.[-3,0) C.(0,1] D.[3,+∞) (2)[2025·河南南阳高一期中] 已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是 . [素养小结] 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论: (1)求解步骤:①求定义域,依据题意明确研究范围;②拆分,把原函数拆分为几个基本函数;③定性质,分层逐一求单调性;④下结论,根据复合函数的单调性法则,即“同增异减”,得出原函数的单调性. (2)一般结论:求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,令u=f(x),x∈[m,n],若两个函数y=au(a>0,且a≠1)与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上单调递增;若两个函数的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上单调递减. ◆ 探究点四 与指数函数及其性质有关的综合应用 例4 已知f(x)=-. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)证明函数f(x)在[0,2)上单调递增; (3)设g(x)=-(x∈(-1,1)),若g(t)+g(t-1)<0,求实数t的取值范围. 变式 [2025·浙江诸暨中学高一期中] 已知函数f(x)=是定义域为R的奇函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明. [素养小结] 与指数函数有关的函数的奇偶性和单调性的判断方法: (1)奇 ... ... 